상관 계수

상관계수는 두 변수의 상대적 움직임 사이의 관계 강도를 계산하는 통계적 척도입니다.

상관계수의 값은 -1.0에서 1.0 사이입니다.

상관계수 -1.0은 완벽한 음의 상관관계를 나타내며, 상관계수 1.0은 완벽한 양의 상관관계를 나타냅니다.

상관계수가 0.0인 경우 두 변수의 움직임 사이에 선형적 관계가 없음을 나타냅니다.

1.0보다 크거나 -1.0보다 작은 계산된 수치는 상관 관계 측정에서 오류를 나타냅니다.

상관계수의 유형

상관계수에는 여러 유형이 있으며, 가장 일반적인 것은 다음과 같습니다:

피어슨 상관계수:
가장 널리 사용되는 상관 측정법입니다. 두 연속형 변수 간의 선형 관계를 평가하며, 두 요소가 일관된 방식으로 함께 증가하거나 감소하는지 확인하는 것과 유사합니다. 결과 왜곡을 유발할 수 있는 특이치에 민감합니다.

스피어먼 순위 상관 계수:
이 비모수적 측정법은 두 변수 간의 관계를 단조 함수로 얼마나 잘 설명할 수 있는지 평가합니다. 간단히 말해, 한 목록에서 순위가 높은 것들이 다른 목록에서도 순위가 높은지 살펴봅니다. 피어슨 상관 계수에 비해 이상치에 덜 민감합니다.

켄달의 타우:
두 순위 변수 간의 연관성 강도를 평가하는 또 다른 비모수적 측정법입니다. 마치 두 친구가 좋아하는 영화 순위를 비교하여 어떤 영화가 더 좋은지에 대한 의견이 일치하는지 보는 것과 같습니다. 켄달의 타우는 작은 표본 크기에 덜 민감하며 동점 발생 시 더 견고합니다.

점-이분산 상관 계수:
한 변수가 연속형(키 등)이고 다른 변수가 이분형(예/아니오 등)일 때 사용하는 피어슨 상관관계의 특수한 경우입니다. 키가 큰 것과 농구를 좋아하는 것 사이의 연관성처럼 두 변수 간 연결이 있는지 확인합니다.

수학적 공식

피어슨 상관 계수의 공식은 다음과 같습니다:

​

여기서:

• r: 두 변수 간의 선형 관계의 강도와 방향을 정량화하는 피어슨 상관계수를 나타냅니다.
• n: 데이터 쌍 또는 관측값의 수.
• Σxy: 두 변수(x와 y)의 짝을 이룬 점수들의 곱의 합입니다. x와 y 값의 각 쌍을 서로 곱한 후, 그 모든 곱의 값들을 합산합니다.
• Σx: 데이터 세트 내 모든 x값의 합계입니다.
• Σy: 데이터 세트 내 모든 y값의 합계입니다.
• Σx²: 각 x값의 제곱의 합입니다. 계산 방법은 각 x값을 개별적으로 제곱한 후 그 제곱값들을 모두 더하는 것입니다.
• Σy²: 각 y값의 제곱의 합입니다. 각 y값을 개별적으로 제곱한 후 그 제곱값들을 합산합니다.

해석

• 강한 양의 상관관계 (0.7 ≤ r ≤ 1): 한 변수가 증가하면 다른 변수도 함께 증가합니다.
• 중간 정도의 양의 상관관계 (0.3 ≤ r < 0.7): 한 변수가 증가하면 다른 변수도 증가하는 경향이 있습니다.
• 약한 양의 상관관계 (0 ≤ r < 0.3): 한 변수의 약간의 증가가 다른 변수의 약간의 증가로 이어질 수 있습니다.
• 상관관계 없음 (r ≈ 0): 변수들 사이에 선형 관계가 없음.
• 약한 음의 상관관계 (-0.3 < r ≤ 0): 한 변수가 약간 증가하면 다른 변수가 약간 감소할 수 있습니다.
• 중간 음의 상관관계 (-0.7 < r ≤ -0.3): 한 변수가 증가하면 다른 변수는 감소하는 경향이 있습니다.
• 강한 음의 상관관계 (-1 ≤ r ≤ -0.7): 한 변수가 증가할수록 다른 변수는 감소합니다.

상관계수의 응용

상관계수는 경제학, 금융, 심리학, 물리학 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다.

예를 들어 금융에서는 서로 다른 자산의 수익률 간의 상관관계를 측정하는 데 사용되어 포트폴리오 다각화 전략에 도움이 됩니다.

외환 거래에서는 통화 쌍 간의 관계를 분석하는 데 사용할 수 있어, 두 통화가 함께 움직이는지 또는 반대 방향으로 움직이는지 트레이더가 이해하는 데 도움이 됩니다.

여러 시간대에 걸쳐 통화 상관관계를 측정하는 당사의 온라인 대화형 도구를 사용할 수 있습니다.

상관계수의 한계

• 선형 관계: 피어슨 상관 계수는 선형 관계만 측정하므로 비선형 관계에 대해서는 의미 있는 정보를 제공하지 못할 수 있습니다.
• 특이치에 대한 민감도: 피어슨 상관 계수는 특이치에 민감하여 결과를 왜곡할 수 있습니다.
• 인과 관계: 상관관계는 인과관계를 의미하지 않습니다. 두 변수가 높은 상관관계를 보인다고 해도 한 변수가 다른 변수의 변화를 유발한다는 뜻은 아닙니다.

상관계수 요약표

다음은 다양한 유형의 상관 계수에 대한 개요를 제공하는 요약표입니다:

상관계수의 유형	측정 대상	일반적인 예시	민감도
피어슨 상관계수	두 연속형 변수 간의 직선적(선형적) 관계의 강도와 방향.	두 가지가 함께 일관되게 증가하거나 감소하는지 확인합니다.	특이값에 민감함.
스피어먼 순위 상관 계수	두 변수 간 데이터 포인트 순서(순위)의 일관성(비모수적).	한 목록에서 순위가 높은 것들이 다른 목록에서도 순위가 높은지 확인하는 것.	피어슨보다 이상치에 덜 민감함.
켄달의 타우	두 순위가 매겨진 변수 간의 연관성 강도는 순위 간의 일관성에 초점을 맞춘다(비모수적).	두 친구가 가장 좋아하는 영화의 순위를 비교하여 의견이 일치하는지 확인.	작은 표본과 동점(ties)에 덜 민감하다.
점-이분산 상관 계수	연속형 변수와 이분형(이항) 변수 간의 관계.	키가 큰 것과 농구 선호도(예/아니오) 간의 연관성 확인.	피어슨과 동일한 민감도.
파이 계수	두 이분 변수 간의 연관성.	피자를 좋아한다고 "예"라고 답한 사람이 아이스크림도 좋아하는지 확인.	이분형 특성으로 인해 감도가 낮음.