相関係数

相関係数は、二つの変数の相対的な動きの間の関係の強さを計算する統計的指標である。

相関係数の値は-1.0から1.0の範囲にある。

-1.0の相関は完全な負の相関を示し、1.0の相関は完全な正の相関を示す。

相関係数が0.0の場合、二つの変数の動きの間に線形的な関係は存在しない。

1.0より大きい値や-1.0より小さい値が算出された場合、相関測定に誤りがあることを示す。

相関係数の種類

相関係数にはいくつかの種類があり、最も一般的なものは以下の通りだ：

ピアソン相関係数：
これは最も広く使われる相関の尺度だ。二つの連続変数間の直線的な関係を評価するもので、例えば二つの事象が一貫した方法で共に増加または減少するかどうかを確認するようなものだ。外れ値の影響を受けやすく、結果を歪める可能性がある。

スピアマンの順位相関係数：
このノンパラメトリックな指標は、二つの変数間の関係を単調関数でどれだけよく説明できるかを評価する。簡単に言えば、あるリストで上位にランクされたものが別のリストでも上位にあるかどうかを見る。ピアソンの相関に比べて外れ値の影響を受けにくい。

ケンドールのタウ：
これも非パラメトリックな尺度で、2つの順位付けされた変数間の関連性の強さを評価する。例えば、2人の友人が好きな映画の順位を比較し、どの映画が優れているか意見が一致するかを調べるようなものだ。ケンダルのタウは、サンプルサイズが小さい場合に敏感になりにくく、同順位の場合にもより頑健である。

点二項相関係数:
これはピアソン相関の特殊なケースで、一方の変数が連続変数（身長など）、もう一方が二値変数（はい/いいえなど）の場合に用いられる。両者の間に繋がりがあるかどうかを調べるもので、例えば背が高いこととバスケットボールを好むことに関連性があるかどうかを見るようなものだ。

数学的公式

ピアソンの相関係数の計算式は以下の通りだ：

​

ここで：

• r: これはピアソン相関係数を表し、二つの変数間の線形関係の強さと方向を定量化する。
• n: データペアまたは観測値の数。
• Σxy：これは二つの変数（xとy）の対応するスコアの積の合計である。xとyの各ペアの値を掛け合わせ、それらの積を全て合計する。
• Σx: これはデータセット内の全てのx値の合計である。
• Σy: データセット内の全てのy値の合計である。
• Σx²：各x値の二乗和である。計算には、各x値を個別に二乗し、それらの二乗和を合計する。
• Σy²：これは各y値の二乗和である。各y値を個別に二乗し、それらの二乗和を合計する。

解釈

• 強い正の相関（0.7 ≤ r ≤ 1）：一方の変数 が増加すると、もう一方の変数も増加する。
• 中程度の正の相関（0.3 ≤ r < 0.7）：一方の変数が増加すると、もう一方の変数も増加する傾向がある。
• 弱い正の相関（0 ≤ r < 0.3）：一方の変数がわずかに増加すると、もう一方の変数もわずかに増加する可能性がある。
• 相関なし（r ≈ 0）：変数間に線形関係がない。
• 弱い負の相関 (-0.3 < r ≤ 0):一方の変数がわずかに増加すると、もう一方の変数がわずかに減少する可能性がある。
• 中程度の負の相関 (-0.7 < r ≤ -0.3):一方の変数が増加すると、もう一方の変数は減少する傾向がある。
• 強い負の相関 (-1 ≤ r ≤ -0.7):一方の変数が増加すると、もう一方の変数は減少する。

相関係数の応用

相関係数は、経済学、金融、心理学、物理学などの様々な分野で広く使われている。

例えば金融分野では、異なる資産のリターン間の相関を測定するために用いられ、ポートフォリオ分散戦略に役立つ。

外国為替取引では、通貨ペア間の関係を分析するために使用でき、トレーダーが2つの通貨が連動するか、あるいは反対方向に動くかを理解するのに役立つ。

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相関係数の限界

• 線形関係：ピアソンの相関係数は線形関係のみを測定するため、非線形関係については有意義な情報を提供しない可能性がある。
• 外れ値への敏感さ：ピアソンの相関係数は外れ値の影響を受けやすく、結果を歪める可能性がある。
• 因果関係：相関は因果関係を意味しない。たとえ二つの変数が強く相関していても、一方の変数が他方の変化を引き起こしているわけではない。

相関係数チートシート

相関係数の種類をまとめたチートシートは以下の通りだ：

相関係数の種類	測定対象	平易な例	感度
ピアソン相関係数	二つの連続変数間の直線的（線形）な関係の強さと方向性を測る。	二つのものが一貫して共に増加または減少するかどうかを確認する。	外れ値の影響を受けやすい。
スピアマンの順位相関係数	二つの変数間のデータ点の順序（順位）の一致度（非パラメトリック）。	あるリストで上位にランクされたものが、別のリストでも上位にランクされるかどうかを確認する。	ピアソンの相関係数より外れ値の影響を受けにくい。
ケンドールのタウ	二つの順位付けされた変数間の関連性の強さを、順位の一貫性に焦点を当てて測定する（非パラメトリック）。	二人の友人が好きな映画の順位を比較し、意見が一致するかを見る。	小標本や同順位に対しては感度が低い。
点二項相関係数	連続変数と二値変数（二分変数）の関係性を示す。	背が高いこととバスケットボールを好むこと（はい／いいえ）の関連性を調べる。	ピアソン係数と同程度の感度を持つ。
ファイ係数	二つの二値変数間の関連性。	ピザが好きだと「はい」と答えた場合、アイスクリームも好きかどうかを確認する。	二値変数の性質上、感度は低い。